1. Можно ли в равенствах заменить каждую звездочку на знак «+» или знак «-» так, чтобы получилось верное равенство?
   а) 1 * 2 * 3 * 4 * ... * 99 = 99;
   б) 1 * 2 * 3 * 4 * ... * 100 = 100.

2. Найдите наименьшее положительное значение x + y (в градусах), если (1 + tgx)(1 + tgy) = 2.

3. Числа a, b и с попарно различны и a + 1/b = b + 1/c = c + 1/a . Найдите a²b²c².

4. Любую вершину треугольника можно сдвигать по проходящей через нее прямой, параллельной противополо¬ж¬ной стороне. Можно ли такими операциями превратить равносторонний треугольник со стороной 1 в прямоугольный треугольник с катетами, равными 1?

5. Докажите, что для любых положительных чисел a, b и c справедливо неравенство a³b + b³c + c³a > a²bc + b²ca + c²ab.

6. Все углы пятиугольника ABCDE равны. Докажите, что серединные перпендикуляры к отрезкам AB и CD пересекаются на биссектрисе угла E.

7. Точка К на медиане BM треугольника ABC такова, что углы AКМ и MBC равны. Докажите, что AК = BC.

Электронные книги

Районные олимпиады. Математика. 6-11 класс.
Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. СКАЧАТЬ

В книге содержатся задачи районных олимпиад по математике для школьников Московской области, проходивших в 1994— 2008 учебных годах. Задачи снабжены подробными решениями. В книге также приведены классические олимпиадные задачи, разбитые по основным темам олимпиадной математики. Книга предназначена для учителей математики, руководителей кружков и факультативов, школьников, рекомендуется для подготовки к математическим олимпиадам начальных уровней.
Файл в формате .djvu

Областные олимпиады. Математика. 8-11 класс.
Агаханов Н.Х. и др. СКАЧАТЬ

Данная книга содержит условия и решения задач, предлагавшихся на III этапе Всероссийской олимпиады школьников по математике в 1993—2008 гг. Наиболее сложные задачи олимпиад отмечены звездочкой. Книга адресована старшеклассникам, увлекающимся математикой, а также учителям, методистам, руководителям кружков и факультативов, ведущим подготовку обучающихся к математическим олимпиадам различного уровня и другим математическим соревнованиям.
Файл в формате .djvu

Для просмотра электронных книг форматов .djvu, .pdf и др. можно СКАЧАТЬ эту программу.