1. Брат и сестра по очереди из одного пакета берут конфеты: брат — одну конфету, а сестра — две, брат — три конфеты, а сестра — четыре, брат — пять, сестра — шесть и т.д. Когда конфет в пакете осталось меньше, чем должен взять тот, чья очередь наступила, он забрал все оставшиеся. Сколько конфет было в пакете, если у брата в итоге оказалась 101 конфета?

2. Восемь различных цифр от 1 до 8 расставлены в вершинах куба. На каждом ребре записан модуль разности цифр, находящихся в вершинах этого ребра. Может ли сумма всех 12 чисел на ребрах быть равной
   а) 40;
   б) 41?

3. Про функцию f(x) известно, что при любых a и b выполняется равенство: f(a + b) + f(a - b) = 2f(a)f(b). а) Верно ли, что f(x) — четная функция? б) Приведите пример непостоянной функции f(x), удов-летворяющей условию задачи.

4. Любую вершину треугольника можно сдвигать по проходящей через нее прямой, параллельной противоположной стороне. Можно ли такими операциями превратить равносторонний треугольник со стороной 1 в прямоугольный треугольник с катетами, равными 1?

5. Докажите, что для любых положительных чисел a, b и c справедливо неравенство a³b + b³c + c³a > a²bc + b²ca + c²ab.

6. В неравнобедренном треугольнике ABC проведена медиана AD, ∠DAC + ∠ABC = 90_o. Найдите угол ∠BAC.

7. Поверхность тетраэдра ABCD разрезали вдоль ребер, выходящих из вершины D. Боковые грани развернули и уложили на плоскость ABC. Получился квадрат со стороной 2. Найдите объем тетраэдра.

Электронные книги

Районные олимпиады. Математика. 6-11 класс.
Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. СКАЧАТЬ

В книге содержатся задачи районных олимпиад по математике для школьников Московской области, проходивших в 1994— 2008 учебных годах. Задачи снабжены подробными решениями. В книге также приведены классические олимпиадные задачи, разбитые по основным темам олимпиадной математики. Книга предназначена для учителей математики, руководителей кружков и факультативов, школьников, рекомендуется для подготовки к математическим олимпиадам начальных уровней.
Файл в формате .djvu

Областные олимпиады. Математика. 8-11 класс.
Агаханов Н.Х. и др. СКАЧАТЬ

Данная книга содержит условия и решения задач, предлагавшихся на III этапе Всероссийской олимпиады школьников по математике в 1993—2008 гг. Наиболее сложные задачи олимпиад отмечены звездочкой. Книга адресована старшеклассникам, увлекающимся математикой, а также учителям, методистам, руководителям кружков и факультативов, ведущим подготовку обучающихся к математическим олимпиадам различного уровня и другим математическим соревнованиям.
Файл в формате .djvu

Для просмотра электронных книг форматов .djvu, .pdf и др. можно СКАЧАТЬ эту программу.