Олимпиадные задачи. 9 класс.
1. Даны квадратные трёхчлены f1(x) = х2+2a1x+b1, f2(x) = х2+2a2x+b2, f3(x) = х2+2a3x+b3 Известно, что а1а2а3 = b1b2b3 > 1 Докажите, что хотя бы один из этих трёхчленов имеет два корня.
2. Семь лыжников с номерами 1,2,...,7 ушли со старта по очереди и прошли дистанцию — каждый со своей постоянной скоростью. Оказалось, что каждый лыжник ровно дважды участвовал в обгонах. (В каждом обгоне участвуют ровно два лыжника — тот, кто обгоняет, и тот, кого обгоняют.) По окончании забега должен быть составлен протокол, состоящий из номеров лыжников в порядке финиширования. Докажите, что в забеге с описанными свойствами может получиться не более двух различных протоколов.
3. Можно ли при каком-то натуральном K разбить все натуральные числа от 1 до K на две группы и выписать числа в каждой группе подряд в некотором порядке так, чтобы получились два одинаковых числа?
4. В треугольнике ABC угол А равен 60o. Пусть ВВ1 и СС1 биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине А относительно прямой B1C1 лежит на стороне ВС.
5. Незнайка выписал по кругу 11 натуральных чисел. Для каждых двух соседних чисел он посчитал их разность. В результате среди найденных разностей оказалось четыре единицы, четыре двойки и три тройки. Докажите, что Незнайка где-то допустил ошибку.
6. Пусть точки А, В, С лежат на окружности, а прямая b касается этой окружности в точке В. Из точки Р, лежащей на прямой b, опущены перпендикуляры РА1 и РС1 на прямые АВ и ВС соответственно (точки А1 и С1 лежат на отрезках АВ и ВС). Докажите, что А1С1 ⊥ АС.
7. В компании из семи человек любые шесть могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми. Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.
8. Для каждого натурального n обозначим через Sn сумму первых n простых чисел: S1= 2, S2 = 2 + 3 = 5, S3 = 2 + 3 + 5 = 10, ... Могут ли два подряд идущих члена последовательности (Sn) оказаться квадратами натуральных чисел?
9. Найдите количество положительных целых чисел n, одновременно удовлетворяющич следующим условиям:
1. Десятичная запись числа n содержит не более 10 цифр;
2. n не делится на 10
Олимпиадные задачи. 5 класс.
Олимпиадные задачи. 6 класс.
Олимпиадные задачи. 7 класс.
Олимпиадные задачи. 8 класс.
Олимпиадные задачи. 10 класс.
Олимпиадные задачи. 11 класс.
Электронные книги
Районные олимпиады. Математика. 6-11 класс.
Агаханов Н.Х., Подлипский О.К. СКАЧАТЬ
В книге содержатся задачи районных олимпиад по
математике для школьников Московской области, проходивших в 1994—
2008 учебных годах. Задачи снабжены подробными решениями.
В книге также приведены классические олимпиадные задачи,
разбитые по основным темам олимпиадной математики.
Книга предназначена для учителей математики, руководителей
кружков и факультативов, школьников, рекомендуется для
подготовки к математическим олимпиадам начальных уровней.
Файл в формате .djvu
Областные олимпиады. Математика. 8-11 класс.
Агаханов Н.Х. и др. СКАЧАТЬ
Данная книга содержит условия и решения задач,
предлагавшихся на III этапе Всероссийской олимпиады
школьников по математике в 1993—2008 гг. Наиболее сложные
задачи олимпиад отмечены звездочкой. Книга адресована
старшеклассникам, увлекающимся математикой, а также
учителям, методистам, руководителям кружков и
факультативов, ведущим подготовку обучающихся к
математическим олимпиадам различного уровня и другим
математическим соревнованиям.
Файл в формате .djvu
Для просмотра электронных книг форматов .djvu, .pdf и др. можно СКАЧАТЬ эту программу.